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高等数学

高数

函数

函数：y=f(x)

x：自变量

f：对应法则

定义域：自变量x的范围

题型一：求定义域

  • 类型一：求抽象函数
  • 类型二：求具体函数

    • 抽象函数定义域

    抽象函数定义域：

  • 谁的定义域就是谁的x的范围
  • 同一符号下，括号内的范围一样

    • 具体函数的定义域

    image-20240805203736941

    第一步：找类型，并且找全

    image-20240805204604574

    第二步：解不等式

    第三步：取交集

    第四步：写成集合或区间的形式

    函数的表达式

    第一类

    image-20240806202827263

    image-20240806203305020

    第二类

    换元法

    image-20240806204746312

    同一函数

    判断是否为同一函数

    1. 定义域一样

    2. 表达式一样（值域）

    基本初等函数

    幂函数

    image-20240806214103172

    image-20240806214614327

    补充：

    定义域、值域

    运算性质

    image-20240806214848037

    指数函数

    image-20240806215719030

    对数函数

    image-20240806222256125

    image-20240806222745387

    三角函数

    image-20240807213922373

    sin

    sin是对边比斜边

    image-20240807214554660

    sin图像

    image-20240807215014200

    cosx

    cos是邻边比斜边

    特殊值及图像

    image-20240807215332157

    tanx

    tanx是对边比邻边

    特殊值及基本情况

    image-20240807215650531

    tanx图像

    image-20240807215829893

    三角函数公式

    image-20240807220724828

    image-20240807220702872

    和差化积

    image-20240807220545556

    tan公式

    image-20240807220912659

    image-20240807220953685

    反三角函数

    arctanx图像

    image-20240807221236827

    特殊值

    arcsin、arccos、arctan与sin、cos、tan相同

    image-20240807221540546

    因式分解

    提公因式

    image-20240808204732462

    公式法

    image-20240808205149676

    十字相乘法

    image-20240808205424908

    找根法

    image-20240808210315474

    常见不等式解法

    image-20240808212741215

    分式不等式

    image-20240808213341969

    指数不等式

    image-20240808213520680

    image-20240808213547271

    image-20240808213628456

    注意：改为同底

    例：

    image-20240808213913872

    对数不等式参考指数不等式

    三角函数不等式

    image-20240808214431810

    image-20240808214517260

    image-20240808214608316

    函数的性质

    image-20240808215047313

    奇偶性

    奇函数：图像关于原点对称

    偶函数：图像关于y轴对称

    image-20240808215512290

    判断奇偶性

    类型一：抽象函数奇偶性

    类型二：具体函数

    image-20240808215908374

    image-20240808220030193

    image-20240808220243479

  • 偶函数的偶次方是偶函数
  • 奇函数的偶次方是偶函数

    • 反函数的解法

    image-20240808221209768

    image-20240808221338764

    极限的计算

    具体解决方法

    image-20240811205759694

    代值

    image-20240811200828050

    具体解决方法(详解)

    image-20240811201015185

    image-20240811201654538

    等价无穷小

    常用等价无穷小

    image-20240811212408101

    三角函数等价无穷小

    image-20240811214612330

    三角函数相减等价无穷小

    加减型不能等价无穷小，除非这个加减型本身就是等价无穷小

    image-20240812204717955

    image-20240812204922636

    image-20240812205150725

    如图所示，每个都相差(1/6)x三次方，所以我们可以做一个计算

    image-20240812205432964

    e和ln的等价无穷小

    image-20240812211323177

    image-20240812214205322

    image-20240812214901528

    image-20240812215048466

    总结

    image-20240812215252051

    image-20240812215821630

    image-20240812220145717

    image-20240812220435018

    0乘有界

    常见有界：sin、cos、arctan

    image-20240813210845806

    0乘有界=0

    取大头

    image-20240814204510269

    image-20240814205017348

    第二重要极限

    image-20240814210457482

    image-20240814211811921

    幂指式求极限

    image-20240814214616334

    和式极限

    无穷多项相加

    image-20240815213016877

    image-20240815213813361

    补充公式

    image-20240815214934572

    左右极限

    左极限与右极限相同则结果为真实极限

    image-20240821205607726

    image-20240821205958219

    极限的应用

    image-20240821211708913

    左右极限

    image-20240821212020567

    例题

    image-20240821212255682

    函数在某一点的连续性

    f(x0) = 左极限 = 右极限 = 连续

    间断点的判断

    若左右极限存在

  • 且相等，但不等于f(x0)，则x = x0是可去间断点。
  • 不相等，则x = x0是跳跃间断点。

    • 可去间断点和跳跃间断点统称第一类间断点。

    若左右极限至少有一个不存在 => 则x = x0 是无穷间断点

    无穷间断点称为第二类间断点。

    image-20240917183219396

    例题

    image-20240917183648602

    无穷小的比较

    判断什么是无穷小

    image-20240917200211672

    极限结果为0就是无穷小量

    无穷小的比较

    image-20240917200636092

    渐近线

    水平渐近线

    image-20240917202054164

    例题

    image-20240917202216185

    垂直渐近线

    image-20240917202410661

    斜渐近线

    image-20240917203237515

    例题

    image-20240917203504517

    导数的计算

    公式求导

    常用公式

    image-20240920220853858

    image-20240920220944107

    例题

    image-20240920221140608

    导数相乘和导数相加减不同

    image-20240920221403043

    image-20240920221707297

    导数相除

    image-20240920221810272

    复合函数求导

    方法：从外到内一步一步求导，直到单纯的x出现为止，求导结果相乘

    例：

    image-20240921204453363

    复合函数乘法求导

    image-20240921205725441

    幂指式求导

    image-20240921210927100

    计算完成后，改写为原式子

    image-20240921211014920

    例：

    image-20240921212319313

    隐函数求导

    隐函数的二阶导直接对一阶导再次求导即可

    image-20240924205027272

    方法

    两边同时求导即可

    例题

    image-20240924211306480

    image-20240924212123558

    image-20240924213334439

    image-20240924214025752

    对数求导法

    image-20240926213859425

    参数方程求导

    image-20240928222919838

    image-20240928223041303

    image-20240928224909382

    参数方程求二阶导

    一阶导的结果除以x对t求导即可

    image-20240929211403443

    抽象函数和分式求导

    image-20240929212117698

    image-20240929212554386

    在某一点的导数值

    先求导，后代值(千万不能先代值，后求导)

    image-20240929213929988

    参数方差例题

    image-20240929223439860

    利用导数的定义求在某一点处导数值

    image-20241009204915673

    image-20241009211037562

    例题

    image-20241009211355391

    image-20241009211649082

    分段函数求导

    image-20241011221408505

    最后对三者的结果做一个总结，当x>0、<0、=0时

    高阶导数

    公式

    image-20241014221946915

    例题

    image-20241014222340689

    image-20241014222928850

    image-20241014223528362

    image-20241015215857140

    image-20241015220141627

    image-20241015220458387

    莱布尼兹公式求高阶导数

    求导公式

    image-20241028213224948

    Cxx的求解方式

    image-20241028213322115

    微分计算

    image-20241028215055400

    image-20241028215221699

    image-20241028215840372

    洛必达

    image-20241030220422671

    image-20241030220736580

    image-20241030220949007

    在某一点处的可导性

    在某一点可导一定连续，连续不一定可导

    image-20241103215441839

    例题

    image-20241103215651985

    image-20241103224053343

    利用导数求关于f的极限

    导数第一定义式，用于求导数在某点上的极限值

    image-20241104223245281

    导数第二定义式，计算关于f的极限题

    这里的五角星 = x - x0，因为x趋向于x0，所以五角星趋向于0

    image-20241104223426721

    例题

    image-20241104223930810

    切线与法线方程

    image-20241105223258244

    image-20241105223443619

    另一种题型，给出x求y

    image-20241105223826850

    根据切线方程及基本条件求切点坐标

    image-20241105224355123

    确定切点，由方程确定的导数，求导求方程

    隐函数是两边求导，求出y导的结果

    在某一点处是直接计算切点和k(斜率)得出公式

    过某一点处是另一种情况，解法如下

    image-20241105225655296

    法线方程

    image-20241105230719793

    单调性、极值、最值

    求导之前先求定义域，解法

    image-20241112210439899

    极值与极值点求法，根据对应单调性画图带入原函数即可

    image-20241112212252402

    最值解法

    从所有极值点和边缘点，比如说[0,2]，0和2也算里面选，极值的话只通过单调性筛选

    利用单调性证明不等式

    步骤

    image-20241112214544765

    例题

    image-20241112215330894

    image-20241112220643542

    凹凸区间与拐点

    凹凸区间解法

    image-20241112222103108

    凹凸区间例题

    image-20241112222213567

    拐点是使凹凸性发生改变的点的坐标，坐标是有(x,y)的

    把拐点带入原式求出y，返回坐标即可

    裂项

    image-20241021222941689

    image-20241120155141387

    不定积分

    公式法

    image-20241117211819925

    image-20241117212622151

    image-20241117212842049

    image-20241117213634122

    image-20241120180024064

    凑微分

    image-20241118210124981

    image-20241118210518176

    补充公式

    三角函数

    image-20241118214515299

    分部积分

    类型一

    image-20241118220022273

    类型二

    一个简单函数，但积不出来

    直接从第二步开始

    image-20241118221751270

    例题

    image-20241118221419654

    有理函数积分

    步骤

    image-20241120152422337

    换元法

    整体换元

    遇到的情况

    image-20241121183204236

    例题

    image-20241121183651294

    三角换元

    三角换元公式

    image-20241121185858555

    例题

    image-20241121193610899

    原函数的计算

    原函数在等式的右边，是积分的结果。

    例题

    image-20241121200606912

    积分求导

    公式

    image-20241122152318934

    例题

    image-20241122153050814

    image-20241122153724308

    积分有x的情况，不能直接求导

    方法1

    image-20241122155142135

    方法2 拆开算

    方法3 换元

    将对应的内容换成t或者类似的即可

    方法4 凑微分

    image-20241122163657267

    含有变限积分的极限计算

    例题

    image-20241122164402956

    image-20241122165105503

    定积分

    基本计算

    正常计算与不定积分一致，只是需要带入上下限的值，换元必换上下限

    例题

    image-20241122193907183

    image-20241122204224946

    一个常用公式

    技巧1

    这里所使用的都是双阶乘，如果只是普通阶乘的话，例如`5! = 54321`

    而双阶乘就是，`5!! = 531`

    image-20241124164229632

    若没有则可以看n为0

    image-20241124164826460

    奇偶性求定积分

    对称区间下，偶倍奇0

    image-20241124170001883

    如果是非奇非偶的，可以拆成两项观察对称性

    周期性求定积分

    解法

    image-20241124203706152

    例题

    image-20241124204452343

    关于绝对值函数的定积分

    解法->令其为0，找到分段点，分开积分

    image-20241124205808250

    求分段函数的定积分

    解法，分段算

    image-20241124223647207

    补充：

    定积分的结果与积分变量无关，因为符号变了，上下限不变的情况下，结果是不变的

    image-20241124230241715

    求分段函数的变限积分

    解法

    image-20241125210034046

    因为函数要求的是f(t)dt，所以，我们让f(x) = 对应的t，将x全部换为t

    而t的范围是在0~x之间的，那么t是小于x的，所以可以画一个区间，根据条件，我们可以比较x与二分之π的范围，因为t的范围是由x的范围决定的，所以进行比较

    假如x小于2分之π，那么t肯定小于2分之π，如下图所示，此时x是小于二分之π的

    image-20241125210436600

    当x大于二分之π，就需要进行分段

    image-20241125210630595

    具体流程，看这个：https://www.bilibili.com/video/BV1X8411f72b/?vd_source=b39debcbe1026bb04f6c19f233bab974&spm_id_from=333.788.videopod.episodes&p=65

    求分段函数的不定积分

    image-20241125214520064

    分成两段求积分，此时，分割点为0，那么通过分割点找到x>0和x<=0的情况进行带入f(x)求积分

    求得积分后，出现两个C，令一个为c1另一个为c2，然后将间隔点带入原结果算出c1 = xxx 和c2做的计算，或算出c2 = xxx和c1做的计算，最后回代入到对应的c1或c2，得出结果

    最值函数的积分

    解法

    image-20241125215314302

    抽象函数的积分计算

    解法

    image-20241125221520101

    image-20241125221741783

    image-20241125221928016

    image-20241125222243428

    定积分定义求极限

    步骤

    image-20241126201624224

    例题

    image-20241126202024650

    积分的估值

    详情看这个：https://www.bilibili.com/video/BV1X8411f72b?vd_source=b39debcbe1026bb04f6c19f233bab974&spm_id_from=333.788.player.switch&p=70

    积分的比较

    同区间的积分比较

    image-20241127133058174

    image-20241127133224745

    结论

    image-20241127133513933

    这里的x代表一个整体，只有整体的情况<1或>1才能决定后面的情况，比如(x-1)的1/2次，此时x-1就是整体，然后带入上下限计算它的整体

    具体步骤为

    image-20241127140438300

    例题

    image-20241127134944025

    image-20241127135106713

    image-20241127135320171

    image-20241127135706577

    定积分的几何意义

    流程

    image-20241127145259399

    image-20241127145809688

    公式

    image-20241127145935069

    image-20241127150107364

    三角函数

    image-20241127150412904

    求平面图形面积

    解法，利用定积分求图形面积

    image-20241127155600462

    例题

    image-20241127155801789

    图形的绘制

    画图

    image-20241127163912217

    image-20241127164424033

    旋转体积

    解法

    image-20241127165946878

    image-20241127172240540

    例题

    image-20241127172200723

    解关于积分的等式(定积分)

    解法

    image-20241127211703684

    解关于积分的等式(变限积分)

    求导

    image-20241127214516821

    image-20241127214709830

    广义积分

    解法，收敛结果为数，发散结果为无穷

    image-20241128161521642

    分成两段

    image-20241128162114774

    微分方程

    一阶微分方程

    公式法

    解法

    image-20241128173732060

    image-20241128181419797

    求特解需要先求出通解，也就是跟随上图公式求出通解

    求出通解后，将题目上的条件带入结果式子，求出c，最后将结果式子与c(求出的结果值)一起算出为y，则为特解

    分离变量

    解法

    image-20241128210531365

    齐次式

    解法：换元

    image-20241129152238603

    伯努利方程

    解法

    image-20241129154824038

    image-20241129154929242

    二阶微分方程

    右侧为0求通解

    解法

    image-20241130211023114

    右侧为0求特解

    特解就是在通解的基础上把xy的值带入求出c1,c2，然后回带即可

    image-20241130220656082

    右侧不为0求通解(第一类)

    image-20241130223640020

    根据类型设特解形式

    image-20241130223609211

    求出y*对其求导就可以得到原式带入解出其他结果值

    右侧不为0求通解(第二类)

    解法，有点乱

    总结下来就几步：找出A+bi，先求`y`，所以要求出对左侧求导为0的结果，带入公式，算出r和a+bi之间的关系，根据关系算出`y`的公式，求导回带到之前的式子里的二阶导计算，算出真正的`y*`,接着算出Y，带入式子计算即可

    image-20241130231630467

    右侧不为0求特解

    在之前通解的情况下，解出c1c2带回原式即可

    求解关于变限积分的等式

    解法

    对其求导计算求微分方程即可

    二重积分

    基本概念与性质

    概念

    image-20241201151158437

    性质

    image-20241201152820335

    image-20241201153102293

    比大小

    image-20241201153258192

    估值定理

    image-20241201153531386

    圆的表达式

    image-20241201161852983

    椭圆表达式

    image-20241201162003774

    直角坐标系下的计算公式

    将二重积分化为定积分来计算

    公式

    image-20241201165504629

    image-20241201165732355

    image-20241201170014292

    解法

    image-20241201170940881

    超越积分顺序选择

    题型，根据对应的x或y确定是哪个型，然后和基本的二重积分一样画图来写

    image-20241201194700389

    交换积分次序

    x型与y型的顺序交换

    image-20241201210102993

    根据题目已知条件确定类型，然后画图确定范围

    极坐标系的二重积分

    极坐标如下图所示

    image-20241201212222125

    极坐标的三角关系

    image-20241201212531854

    在极坐标下：x平方+y平方=r平方

    二重积分计算

    解法

    image-20241201213357114

    上下限的确定方法

    image-20241201214042472

    半径r的取值范围

    image-20241201220202398

    常见的积分图像

    image-20241201220756013

    image-20241201221128351

    image-20241201221347282

    二重积分对称性

    条件,偶倍奇零，画图，看关于哪个轴对称，然后看对应函数的奇偶性来算

    image-20241201232156107

    注：若D对称，首选对称性

    多元函数微分学

    基本概念

    image-20241202151422828

    定义域

    image-20241202152756449

    二元函数对应法则

    解法

    image-20241202160223137

    例题

    image-20241202160541099

    二元函数极限

    image-20241202161011693

    例题

    image-20241202162143839

    一阶偏导

    关于哪个函数的变化

    image-20241202163418074

    写法

    image-20241202164445756

    计算方法

    image-20241202164635347

    例题

    dz/dy 就对y求导，x看作常数，反之同理

    image-20241202165039465

    全微分

    解法

    image-20241203192400808

    可微与偏导的关系

    image-20241203193519444

    二阶偏导

    一般来说就是正常对x或y求两次导就行，也有特殊的，如下图所示

    image-20241203195612113

    二元隐函数一阶偏导

    image-20241203200811459

    例题

    image-20241203201540622

    二元隐函数二阶偏导

    image-20241203202228376

    链式法则

    从外向里，层层求导

    链式法则：将每层函数关系罗列

    具体复合函数求导

    直接对给出条件带入

    抽象复合函数求导

    解法

    image-20241203203841533

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